Question

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=（c）=0，現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①f（0）=f（3）；
②f（0）f（1）＜0；
③f（1）f（3）＜0；
④a²+b²+c²=18．
其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，確定函數(shù)的極值點(diǎn)及a、b、c的大小關(guān)系，由此可得結(jié)論

解答： 解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＜1，或x＞3時(shí)，f'（x）＞0
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（3，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）
所以f（x）極大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，
f（x）極小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三個(gè)解a、b、c，那么結(jié)合函數(shù)f（x）草圖可知：
a＜1＜b＜3＜c
及函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)x=b在1～3之間，
所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc，
∴f（0）=f（3）
∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（1）f（3）＜0，
∵f（a）=f（b）=（c）=0，
∴x³-6x²+9x-abc
=（x-a）（x-b）（x-c）
=x³-（a+b+c）x²+（ab+ac+bc）x-abc，
∴a+b+c=6①，ab+ac+bc=9②，
把②代入①²得：a²+b²+c²=18；
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)，解不等式，綜合性強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合可以使本題直觀．