Question

在△ABC中，cosA=

5

5

，cosB=

10

10

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）設AB=

2

，求AB邊上的高．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosA和cosB的值都大于0，得到A和B都為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關系分別求出sinA和sinB的值，由A+B+C=π，得到C=π-（A+B），表示出cosC，代換后，利用誘導公式及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡，再把各自的值代入即可求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）由AB，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出AC的值，最后利用銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，表示出sinA等于AB邊上的高比上AC，即可得到高等于ACsinA，即可求出高的值．

解答：解：（Ⅰ）由cosA=

5

5

，cosB=

10

10

，得A、B∈(0，

π

2

)，
所以sinA=

2 5

5

，sinB=

3 10

10

．（3分）
因為cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

2

2

，（6分）
且0＜C＜π，故C=

π

4

．（7分）
（Ⅱ）∵AB=

2

，sinC=

2

2

，sinB=

3 10

10

，
根據(jù)正弦定理得

AB

sinC

=

AC

sinB

⇒AC=

AB•sinB

sinC

=

6

10

=

3 10

5

，（10分）
所以AB邊上的高為AC•sinA=

6 2

5

．（12分）

點評：此題考查了同角三角函數(shù)的基本關系，正弦定理，誘導公式及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，做題時注意角度的范圍．