解:(1)因為
,所以
,
又因為F(x)圖象在x=0處的切線方程為x-y=0,
所以
,即
,解得 b=1,c=0.
(2)①因為F(x)是(-∞,+∞)上的單調(diào)遞減函數(shù),所以F′(x)≤0恒成立,
即-x
2+(2-b)x+(b-c)≤0對任意的x∈R恒成立,
所以△=(2-b)
2+4(b-c)≤0,所以
,即c>b且c≥1,
令g(x)=f(x)-(x+c)
2=(b-2c)x-c(c-1),由b-2c<0,知g(x)是減函數(shù),
故g(x)在[0,+∞)內(nèi)取得最小值g(0),又g(0)=-c(c-1)≤0,
所以x≥0時,g(x)≤g(0)≤0,即f(x)≤(x+c)
2.
②由①知,c≥|b|≥0,當(dāng)|b|=c時,b=c或b=-c,
因為b
2+4-4c≤0,即c
2+4-4c≤0,解得c=2,b=2或b=-2,所以f(x)=x
2±2x+2,
而f(c)-f(b)=c
2+bc+c-b
2-b
2-c=c
2+bc-2b
2=(c+2b)(c-b),
所以f(c)-f(b)=-8或0,
不等式f(c)-Mc
2≤f(b)-Mb
2等價于f(c)-f(b)≤M(c
2-b
2),
變?yōu)?8≤M•0或0≤M•0恒成立,M∈R,
當(dāng)|b|≠c時,c>|b|,即c
2-b
2>0,所以不等式f(c)-Mc
2≤f(b)-Mb
2恒成立等價于
恒成立,等價于
,
而
,
因為c>|b|,
,所以
,所以
,所以
,
所以
,所以
.
分析:(1)欲求b,c的值,根據(jù)所給的切線方程,只須求出切線斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率進(jìn)而得切線方程,最后與所給的方程比較即得b,c的值;
(2)根據(jù)函數(shù)F(x)是(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,得到F′(x)≤0恒成立,從而得到c>b且c≥1,①令g(x)=f(x)-(x+c)
2=(b-2c)x-c(c-1),從而得到結(jié)果;
②不等式f(c)-Mc
2≤f(b)-Mb
2恒成立等價于f(c)-f(b)≤M(c
2-b
2)恒成立,分離參數(shù)可得
恒成立,轉(zhuǎn)化為求
的最大值即可.
點評:本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運算求解能力,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.屬難題.