已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),并設(shè)數(shù)學(xué)公式,
(1)若F(x)圖象在x=0處的切線方程為x-y=0,求b、c的值;
(2)若函數(shù)F(x)是(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,則
①當(dāng)x≥0時,試判斷f(x)與(x+c)2的大小關(guān)系,并證明之;
②對滿足題設(shè)條件的任意b、c,不等式f(c)-Mc2≤f(b)-Mb2恒成立,求M的取值范圍.

解:(1)因為,所以,
又因為F(x)圖象在x=0處的切線方程為x-y=0,
所以 ,即,解得 b=1,c=0.
(2)①因為F(x)是(-∞,+∞)上的單調(diào)遞減函數(shù),所以F′(x)≤0恒成立,
即-x2+(2-b)x+(b-c)≤0對任意的x∈R恒成立,
所以△=(2-b)2+4(b-c)≤0,所以,即c>b且c≥1,
令g(x)=f(x)-(x+c)2=(b-2c)x-c(c-1),由b-2c<0,知g(x)是減函數(shù),
故g(x)在[0,+∞)內(nèi)取得最小值g(0),又g(0)=-c(c-1)≤0,
所以x≥0時,g(x)≤g(0)≤0,即f(x)≤(x+c)2
②由①知,c≥|b|≥0,當(dāng)|b|=c時,b=c或b=-c,
因為b2+4-4c≤0,即c2+4-4c≤0,解得c=2,b=2或b=-2,所以f(x)=x2±2x+2,
而f(c)-f(b)=c2+bc+c-b2-b2-c=c2+bc-2b2=(c+2b)(c-b),
所以f(c)-f(b)=-8或0,
不等式f(c)-Mc2≤f(b)-Mb2等價于f(c)-f(b)≤M(c2-b2),
變?yōu)?8≤M•0或0≤M•0恒成立,M∈R,
當(dāng)|b|≠c時,c>|b|,即c2-b2>0,所以不等式f(c)-Mc2≤f(b)-Mb2恒成立等價于恒成立,等價于,

因為c>|b|,,所以,所以,所以,
所以,所以
分析:(1)欲求b,c的值,根據(jù)所給的切線方程,只須求出切線斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率進(jìn)而得切線方程,最后與所給的方程比較即得b,c的值;
(2)根據(jù)函數(shù)F(x)是(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,得到F′(x)≤0恒成立,從而得到c>b且c≥1,①令g(x)=f(x)-(x+c)2=(b-2c)x-c(c-1),從而得到結(jié)果;
②不等式f(c)-Mc2≤f(b)-Mb2恒成立等價于f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,分離參數(shù)可得恒成立,轉(zhuǎn)化為求的最大值即可.
點評:本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運算求解能力,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.屬難題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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