已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式f(x)>2x的解集為(-1,3).
(1)若函數(shù)g(x)=xf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=-1時,證明方程f(x)=2x3-1僅有一個實數(shù)根;
(3)當(dāng)x∈[0,1]時,試討論|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要條件.
(1)(-∞,-1](2)見解析(3)-5≤a<0
(1)∵f(x)-2x>0的解集為(-1,3),
∴可設(shè)f(x)-2xa(x+1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x+1)(x-3)+2xax2+2(1-a)x-3a                         
g(x)=xf(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax,
g(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a上的函數(shù)值非正,
由于a<0,對稱軸x>0,故只需ga(1-a)-3a≤0,注意到a<0,∴a2+4(1-a)-9≥0,得a≤-1或a≥5(舍去).
故所求a的取值范圍是(-∞,-1].
(2)a=-1時,方程f(x)=2x3-1僅有一個實數(shù)根,即證方程2x3x2-4x-4=0僅有一個實數(shù)根.令h(x)=2x3x2-4x-4,由h′(x)=6x2+2x-4=0,得x1=-1,x2,易知h(x)在(-∞,-1),上遞增,在上遞減,h(x)的極大值h(-1)=-1<0,故函數(shù)h(x)的圖象與x軸僅有一個交點,∴a=-1時,方程f(x)=2x3-1僅有一個實數(shù)根,得證.
(3)設(shè)r(x)=f(x)+(2a-1)x+3a+1=ax2x+1,r(0)=1,對稱軸為x=-,
由題意,得 
解出-5≤a<0,
故使|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要條件是-5≤a<0
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某投資公司計劃投資A,B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18-,B產(chǎn)品的利潤y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2(注:利潤與投資金額單位:萬元).
(1)該公司已有100萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品中,其中x萬元資金投入A產(chǎn)品,試把A,B兩種產(chǎn)品利潤總和表示為x的函數(shù),并寫出定義域;
(2)在(1)的條件下,試問:怎樣分配這100萬元資金,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

對于函數(shù),若都是某一三角形的三邊長,則稱為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.以下說法正確的是(   )
A.不是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”;
B.“可構(gòu)造三角形函數(shù)”一定是單調(diào)函數(shù);
C.是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”;
D.若定義在上的函數(shù)的值域是為自然對數(shù)的底數(shù)),則一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)函數(shù),用二分法求方程的近似根過程中,計算得到,則方程的根落在區(qū)間
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).
(1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍;
(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù),則上的零點個數(shù)為(  。
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

將一個長寬分別是a,b(0<b<a)的鐵皮的四角切去相同的正方形,然后折成一個無蓋的長方體的盒子,若這個長方體的外接球的體積存在最小值,則的取值范圍是________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

函數(shù),若數(shù)列滿足,則                

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

一塊形狀為直角三角形的鐵皮,兩直角邊長分別為40 cm、60 cm,現(xiàn)要將它剪成一個矩形,并以此三角形的直角為矩形的一個角,則矩形的最大面積是________cm2.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案