Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]，a∈R．
（1）求f（x）的極值；
（2）定義在D內(nèi)的函數(shù)y=f（x），若對于任意的x₁，x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數(shù)y=f（x）為“A型函數(shù)”，若是，給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：新定義,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值和極小值；
（2）由單調(diào)性，知f（x）_max-f（x）_min最大，所以只要證明f（x）_max-f（x）_min＜1就行．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-1，當(dāng)x∈[-1，-

3

3

）和（

3

3

，1]時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-

3

3

，

3

3

）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=-

3

3

時，f（x）有極大值f(-

3

3

)=

2 3

9

+a，
當(dāng)x=

3

3

時，f（x）有極小值f(

3

3

)=-

2 3

9

+a；
（2）f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]是“A型函數(shù)”，
f（-1）=f（1）=a，又由（1）知a-

2 3

9

≤f(x)≤

2 3

9

，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值為f(-

3

3

)=

2 3

9

+a，最小值為f(

3

3

)=-

2 3

9

+a，
∴對于任意的x₁，x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-

3

3

）-f（

3

3

）|=

4 3

9

＜1成立，
∴f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]是“A型函數(shù)”．

點(diǎn)評：本題是一道新定義型試題，考查了，函數(shù)的極值，最值，恒成立問題，等價轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．