Question

已知一塊半徑為r的殘缺的半圓形材料ABC，O為半圓的圓心，OC=

1

2

r，殘缺部分位于過(guò)點(diǎn)C的豎直線的右側(cè)．現(xiàn)要在這塊材料上截出一個(gè)直角三角形，有兩種設(shè)計(jì)方案：如圖甲，以BC為斜邊；如圖乙，直角頂點(diǎn)E在線段OC上，且另一個(gè)頂點(diǎn)D在

AB

上．要使截出的直角三角形的面積最大，應(yīng)該選擇哪一種方案？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．

Answer 1

如圖甲，

設(shè)∠DBC=α（0＜α＜

π

2

），
則BD=

3r

2

cosα，DC=

3r

2

sinα，
所以S△BDC=

1

2

BD•DC=

1

2

•

3r

2

cosα•

3r

2

sinα
=

9

16

r2sin2α≤

9

16

r2，
當(dāng)且僅當(dāng)α=

π

4

時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離為

3

4

r，可以保證點(diǎn)D在半圓形材料ABC內(nèi)部，
因此按照?qǐng)D甲方案得到直角三角形的最大面積為

9

16

r2．
如圖乙，

設(shè)∠EOD=θ，則OE=rcosθ，DE=rsinθ，
所以S△BDE=

1

2

r2(1+cosθ)sinθ，θ∈[

π

3

，

π

2

]．
設(shè)f(θ)=

1

2

r2(1+cosθ)sinθ，則f′(θ)=

1

2

r2(1+cosθ)(2cosθ-1)，
當(dāng)θ∈[

π

3

，

π

2

]時(shí)，f'（θ）≤0，所以θ=

π

3

時(shí)，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，△BDE的面積最大值為

3 3

8

r2．
因?yàn)?span >

3 3

8

r2＞

9

16

r2，
所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為

3 3

8

r2．