Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=2x+log₃$\frac{x-1}{1-ax}$為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$為奇函數(shù)，可得f（-x）+f（x）=0對定義域內(nèi)的任意x都成立，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{x+1}$，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），即可討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0對定義域內(nèi)的任意x都成立．
即$-2x+{log_3}\frac{-x-1}{1+ax}+2x+{log_3}\frac{x-1}{1-ax}=0$對定義域內(nèi)的任意x都成立．…（2分）
∴${log_3}\frac{-x-1}{1+ax}=-{log_3}\frac{x-1}{1-ax}$，∴$\frac{-x-1}{1+ax}=\frac{1-ax}{x-1}$，
∴1-x²=1-a²x²，∴a²=1，…（3分）
解得a=-1或a=1（舍去），所以a=-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f（x）=2x+{log_3}\frac{x-1}{x+1}$，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．…（7分）
任取x₁，x₂∈（1，+∞），設(shè)x₁＜x₂，則$\frac{{{x_1}-1}}{{{x_1}+1}}-\frac{{{x_2}-1}}{{{x_2}+1}}=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＜0$，…（9分）
∴函數(shù)$y={log_3}\frac{x-1}{x+1}$為增函數(shù)，∴y=f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，…（10分）
同理函數(shù)f（x）在（-∞，-1）也為增函數(shù)．…（11分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，-1）．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．