【題目】本題滿分14分)
在數(shù)列中,,且.
(Ⅰ) 求,猜想的表達(dá)式,并加以證明;
(Ⅱ) 設(shè),求證:對(duì)任意的自然數(shù),都有;
【答案】
解:(1)容易求得:,;
猜想, 證明:見解析.
(2)見解析.
【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想的思想的運(yùn)用,以及運(yùn)用哦遞推關(guān)系式來求解數(shù)列的前幾項(xiàng),并且能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,同時(shí)對(duì)于構(gòu)造的新數(shù)列也能利用裂項(xiàng)法求和的綜合運(yùn)用。
(1)利用遞推關(guān)系,對(duì)于n賦值分別得到前幾項(xiàng),并猜想其通項(xiàng)公式,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明
(2)根據(jù)上一問的結(jié)論,表示新數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后利用裂項(xiàng)的思想求和并證明不等式問題。
解:(1)容易求得:,----------------------(2分)
故可以猜想, 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明:
顯然當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,-----------------(3分)
假設(shè)當(dāng);時(shí)(也可以),結(jié)論也成立,即
,--------------------------(4分)
那么當(dāng)時(shí),由題設(shè)與歸納假設(shè)可知:
------------(6分)
即當(dāng)時(shí),結(jié)論也成立,綜上,對(duì),成立。--------(7分)
(2)---(9分)
所以
---------(11分)
所以只需要證明
(顯然成立)
所以對(duì)任意的自然數(shù),都有-------(14分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式f(x)=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的求值問題的算法.現(xiàn)按照這個(gè)程序執(zhí)行函數(shù)f (x)=3x4﹣2x3﹣6x﹣17的計(jì)算,若輸入的值x0=2,則輸出的v的值是( )
A.0
B.2
C.3
D.﹣3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取一個(gè)年份,對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:
(1)在4月份任取一天,估計(jì)西安市在該天不下雨的概率;
(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì),估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率.
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
天氣 | 晴 | 雨 | 陰 | 陰 | 陰 | 雨 | 陰 | 晴 | 晴 | 晴 | 陰 | 晴 | 晴 | 晴 | 晴 |
日期 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
天氣 | 晴 | 陰 | 雨 | 陰 | 陰 | 晴 | 陰 | 晴 | 晴 | 晴 | 陰 | 晴 | 晴 | 晴 | 雨 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列,現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng),使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi),則這九個(gè)數(shù)的和可以為( )
A.2097 B.2112 C.2012 D.2090
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí),可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí),未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.
(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí),能租出多少輛車?
(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:
由算得, .
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
則參照附表,得到的正確結(jié)論應(yīng)是( )
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
C. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|lgx|﹣( )x有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2 , 則有( )
A.x1x2<0
B.x1x2=1
C.x1x2>1
D.0<x1x2<1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)分別求甲隊(duì)以3:0,3:1,3:2獲勝的概率;
(2)若比賽結(jié)果為3:0或3:1,則勝利方得3分、對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分、對(duì)方得1分.求甲隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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