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已知A，B，C是平面上不共線上三點，O為△ABC外心，動點P滿足：
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]（λ∈R且λ≠0），則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�
分析：根據向量的加法的平行四邊形法則向量的運算法則，對
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]進行化簡，得到
2(1-λ)
3
OD
+
1+2λ
3
OC
，根據三點共線的充要條件知道P、C、D三點共線，但λ≠0則點P的軌跡一定不經過△ABC的重心．
解答：解：取AB的中點D，則 2
OD
=
OA
+
OB

∵
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]
∴
OP
=
1
3
[(1-λ)(2
OD
)+(1+2λ)
OC
]
=
2(1-λ)
3
OD
+
1+2λ
3
OC
，
而
2(1-λ)
3
+
1+2λ
3
=1，
∴P、C、D三點共線，
∵λ≠0
∴點P的軌跡一定不經過△ABC的重心．
故選D．
點評：此題是個中檔題．考查向量的加法法則和運算法則，以及三點共線的充要條件，和三角形的五心問題，綜合性強，體現了數形結合的思想．
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C是平面內不共線的三點，P為平面內的動點，且
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)  (λ＞0)，則P的軌跡過△ABC的（　�。�
A、重心B、垂心C、內心D、外心

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足
OP
=
1
3
(
1
2
OA
+
1
2
OB
+2
OC
)，則點P一定為三角形ABC的（　�。�
A、AB邊中線的中點
B、AB邊中線的三等分點（非重心）
C、重心
D、AB邊的中點

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線的三點，o為平面ABC內任一點，動點P滿足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R且λ≠1，則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B，C是平面內互異的三點，O為平面上任意一點，
OC
=x
OA
+y
OB
，求證：
（1）若A，B，C三點共線，則x+y=1；
（2）若x+y=1，則A，B，C三點共線．

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