已知數(shù)列{an}中，數(shù)學公式．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

解：（1）通過n=1，=，n=2，當=，當n=3，利用=．
所以a2，a3，a4的值分別為：．
（2）由（1）可知數(shù)列的前4項為：；分子為正自然數(shù)列，分母為正自然數(shù)加2，所以猜想an的表達式為：．
證明：①當n=1時，顯然成立，
②假設n=k時，猜想成立，即：，
那么，n=k+1時，===．
就是說，n=k+1時猜想成立．由①②可知對于n∈N+時猜想成立．
分析：（1）通過n=1，2，3，利用求出a2，a3，a4的值即可．
（2）根據(jù)（1）數(shù)列前4項的數(shù)值特征，猜想an的表達式，利用數(shù)學歸納法加驗證n=1時猜想成立，然后假設n=k時猜想成立，證明n=k+1時猜想也成立．
點評：本題是中檔題，考查已知數(shù)列的遞推關系式，求出數(shù)列的前幾項，猜想通項公式，利用數(shù)學歸納法證明猜想成立，注意數(shù)學歸納法證明時，必須用上假設．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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