Question

6．已知f（x）為偶函數(shù)，且f（x）=f（x-4），在區(qū)間[0，2]上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-\frac{3}{2}x+5，0≤x≤1}\\{{2}^{x}+{2}^{-x}，a＜x≤2}\end{array}\right.$，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x|+a，若F（x）=f（x）-g（x）恰好有4個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （2，$\frac{19}{8}$）
• B． （2，3）
• C． （2，$\frac{19}{8}$]
• D． （2，3]

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（x）=f（x-4），則f（x）=f（-x），函數(shù)的周期為4，求得在區(qū)間[-2，0]上，f（x）的解析式，作出f（x）和g（x）的圖象，通過平移，即可得到所求a的范圍．

解答 解：由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（x）=f（x-4），
則f（x）=f（-x），函數(shù)的周期為4，
則在區(qū)間[-2，0]上，有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+5，-1≤x≤0}\\{{2}^{x}+{2}^{-x}，-2≤x＜-1}\end{array}\right.$，
分別作出函數(shù)y=f（x）在[-2，2]的圖象，
并左右平移4個單位，8個單位，
可得y=f（x）的圖象，再作y=g（x）的圖象，注意上下平移．
當經(jīng)過A（1，$\frac{5}{2}$）時，a=$\frac{5}{2}-\frac{1}{2}$=2，
經(jīng)過B（3，$\frac{5}{2}$）時，a=2，5-$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{19}{8}$．
則平移可得2＜a＜$\frac{19}{8}$時，圖象共有4個交點，即f（x）-g（x）恰好有4個零點，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的零點的求法，注意運用圖象的交點，掌握圖象平移和數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．