在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-l），B（0，1），平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足：①
OC
=3
OG
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；②|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|；③
GM
∥
AB
．
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（2）直線l：y=x+t與曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形PAQB面積的最大值．
分析：（1）確定M的坐標(biāo)，利用|
MA
|=|
MC|
，即可求出頂點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（2）直線PQ的方程，將之代入（1）的方程中，運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理，根據(jù)SPAQB=
1
2
|AB||x1-x2|，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)C（x，y），
由①知，G為△ABC的重心，
∴G（
x
3
，
y
3
）
由②知M是△ABC的外心，∴M在x軸上．
由③知M（
x
3
，0），
由|
MA
|=|
MC|
得
(
x
3
)2+1
=
(x-
x
3
)2+y2

化簡(jiǎn)整理得：
x2
3
+y2=1（x≠0）；
（2）將y=x+t代入橢圓方程，可得4x2+6tx+3t2-3=0，
由△＞0，可得t2＜4
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
則x1+x2=-
3
2
t，x1•x2=
3t2-3
4

∴SPAQB=
1
2
|AB||x1-x2|=
3
2
•
4-t2

∴t=0時(shí)，四邊形PAQB面積的最大值為
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，平面向量與共線向量，向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及求點(diǎn)的軌跡方程，考查了對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-1，0）B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足下列條件：①
GA
+
GB
+
GC
=
0
；②|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|；③
GM
∥
AB
．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)P（3，0）的直線l與（1）中軌跡交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，求△OEF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），…，Pn（n，2n），其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)A0，記A1為A0關(guān)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn)，A2為A1關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn)，…，An為An-1關(guān)于點(diǎn)Pn的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求向量
A0A2
的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A0在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A2的軌跡是函數(shù)y=f（x）的圖象，其中f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，f（x）=lgx．求以曲線C為圖象的函數(shù)在（1，4]上的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P（0，1），Q（2，3），對(duì)平面上任意一點(diǎn)B0，記B1為B0關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)，B2為B1關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)，B3為B2關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)，B4為B3關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)，…，Bi為Bi-1關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)，Bi+1為Bi關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)，Bi+2為Bi+1關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)（i≥1，i∈N）…．則
B0B10
=
（20，20）
（20，20）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足下列條件：
（1）
GA
+
GB
+
GC
=
O

（2）|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|
（3）
GM
∥
AB

則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•金山區(qū)一模）在直角坐標(biāo)平面中，若F1、F2為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，a＞0為常數(shù)，則“|PF1|+|PF2|=2a”是“點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)，以2a為長(zhǎng)軸的橢圓”的（　　）

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