Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow$=（1，cosθ）．
（1）若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow$，求tanθ的值；
（2）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，再由同角的商數(shù)關(guān)系，即可得到所求值；
（2）運用向量的平方即為模的平方，結(jié)合同角的平方關(guān)系和輔助角公式，再由正弦函數(shù)的值域，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow$=（1，cosθ），
若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即有sinθ+cosθ=0，
則tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-1；
（2）|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|=$\sqrt{（sinθ+1）^{2}+（1+cosθ）^{2}}$
=$\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2+2（sinθ+cosθ）}$
=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，
當θ+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即θ=2kπ++$\frac{π}{4}$，k為整數(shù)，
可得|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|的最大值$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查同角的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，以及輔助角公式，考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)的運用，屬于中檔題．