Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，設(shè)為圓上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)．問(wèn)：直線(xiàn)能否與圓總相切，如果能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

(1) ；（2）能，點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）求橢圓方程，一般要找到兩個(gè)條件，本題中有離心率為，即，另外橢圓過(guò)點(diǎn)，說(shuō)明，這樣結(jié)論易求；（2）存在性命題，問(wèn)題假設(shè)存在，設(shè)，再設(shè)，首先有，，，于是，寫(xiě)出直線(xiàn)方程為，讓它與橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)相交，求得，與圓相切，則有，即，這是關(guān)于的恒等式，由此利用恒等式的知識(shí)可求得，說(shuō)明存在，若求不出，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，不存在.

（1）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719100484943226/SYS201411171910147091220441_DA/SYS201411171910147091220441_DA.027.png">，可令，所以，，即，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 6分

（2）存在點(diǎn) 7分

設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719100484943226/SYS201411171910147091220441_DA/SYS201411171910147091220441_DA.033.png">在以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓上，且不在坐標(biāo)軸上的任意點(diǎn)，

所以 且，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719100484943226/SYS201411171910147091220441_DA/SYS201411171910147091220441_DA.037.png">，

由，所以，，所以直線(xiàn)的方程為， 10分

因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，令，得，

即， 12分

所以，

又，與圓總相切，故，于是有，

，即恒成立，解之可得，

即存在這樣點(diǎn)，使得與圓總相切． 16分

考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)與橢圓、圓的綜合性問(wèn)題.