Question

3．某市春節(jié)7家超市的廣告費支出x（萬元）和銷售額y（萬元）數(shù)據(jù)如下，

超市	A	B	C	D	E	F	G
廣告費支出x	1	2	4	6	11	13	19
銷售額y	19	32	40	44	52	53	54

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)．用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$
（2）用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關系，可得回歸方程：$\widehat{y}$=-0.17x²+5x+20．
經(jīng)計算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R²分別約為0.93和0.75，請用R²說明選擇哪個回歸模型更合適．并用此模型預測A超市廣告費支出為3萬元時的銷售額，
參考數(shù)據(jù)及公式：$\overline{x}$=8，$\overline{y}$=42.$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=2794，$\sum_{i=1}^{7}$x${\;}_{i}^{2}$=708，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$x．

Answer 1

分析 （1）由題意求出回歸系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，寫出線性回歸方程；
（2）根據(jù)線性回歸模型的相關指數(shù)判斷用二次函數(shù)回歸模型更合適，
計算x=3時$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）由題意，n=7，$\overline{x}$=8，$\overline{y}$=42，$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=2794，$\sum_{i=1}^{7}$x${\;}_{i}^{2}$=708，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{2794-7×8×42}{708-7{×8}^{2}}$=1.7，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=42-1.7×8=28.4，
∴y關于x的線性回歸方程是$\widehat{y}$=1.7x+28.4；
（2）∵線性回歸模型的R²：0.75＜0.93，
∴用二次函數(shù)回歸模型擬合更合適，
當x=3時，得$\widehat{y}$=-0.17×3²+5×3+20=33.47，
預測A超市廣告費支出為3萬元時銷售額為33.47萬元．

點評 本題考查了線性回歸方程的應用問題，是基礎題．