Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0 （n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃與a₅的等比中項為2．
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）設b_n=log₂a_n，求數列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）將數列的已知條件利用等比數列的性質，用解方程組求出a₃，a₅，進而求出首項與公比，利用等比數列的通項公式求出數列{a_n}的通項公式．
（2）求出數列{b_n}的通項，利用等差數列的前n項和公式求出數列{b_n}的前n項和，進而通過b_n的正負來尋找T_n與S_n的關系．

解答：解：（1）∵{a_n} 為等比數列，∴a1a5=a32，a2a8=a52，
∴由題意得a32+2a3a5+a52=25，
即(a3+a5)2=25，∴a₃+a₅=±5，
又∵a_n＞0，∴a₃+a₅＞0，∴a₃+a₅=5，
又 與a₅ 的等比中項為2．∴a₃a₅=4，
∴a₃=1，a₅=4 或a₃=4，a₅=1，
又∵q∈（0，1），∴a₃=4，a₅=1，q2=

1

4

，即q=

1

2

，
∴a₁=16，
∴an=a1qn-1=16(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5=25-n．
（2）b_n=log₂a_n=5-n，
∵b_n+1-b_n=-1，
∴{b_n} 是等差數列，則其前n 的和為Sn=-

1

2

n2+

9

2

n 

又∵當n≤5，n∈N^*時，b_n≥0；
當n＞5，n∈N^*時，b_n＜0，
∴當n≤5，n∈N^*時，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+…+b_n 
=Sn=-

1

2

n2+

9

2

n，
當n＞5，n∈N^*時，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅-b₆-b₇-…-b_n 
=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n 
=

1

2

n2-

9

2

n+20 
∴T_n=

- 1 2 n2+ 9 2 n，(n≤5) 1 2 n2- 9 2 n+20，(n＞5)

，n∈N^*．

點評：解決等比數列、等差數列兩個特殊數列的有關問題，常利用它們的通項公式、前n項和公式列出方程組，通過解方程組求出通項和公差、公比再求其他量即可，屬中檔題．