Question

對于定義在集合D上的函數(shù)y=f（x），若f（x）在D上具有單調(diào)性，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時，
f（x）的值域是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]稱為f（x）的“等域區(qū)間”．
（1）已知函數(shù)f(x)=

x

是[0，+∞）上的正函數(shù)，試求f（x）的等域區(qū)間．
（2）試探究是否存在實數(shù)k，使函數(shù)g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為f(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，由此能求出f（x）的等域區(qū)間．
（2）設(shè)存在實數(shù)k，使函數(shù)g（x）=x²+k是（-∞，0）上為減函數(shù)．當(dāng)x∈[a，b]時，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，若函數(shù)g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數(shù)，則

g(a)=b g(b)=a

．由此能夠?qū)С龃嬖趯崝?shù)k∈(-1，-

3

4

)，使函數(shù)g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數(shù)．

解答：解：（1）因為f(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)
所以當(dāng)x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，
又f(x)=

x

是[0，+∞）上的正函數(shù)
∴

f(a)=a f(b)=b b＞a≥0

⇒

a =a b =b b＞a≥0

，
∴a=0，b=1，
∴f（x）的等域區(qū)間為[0，1]．…（4分）
（2）設(shè)存在實數(shù)k，使函數(shù)g（x）=x²+k是（-∞，0）上為減函數(shù)．
∴當(dāng)x∈[a，b]時，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，
若函數(shù)g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數(shù)，
則

g(a)=b g(b)=a

，
即

a2+k=b b2+k=a

⇒a2-b2=b-a，
∵a≠b，∴a+b=-1即b=-a-1，
∵a＜b＜0即a＜-a-1＜0⇒-1＜a＜-

1

2

…（8分）
∴關(guān)于a的方程a²+a+k+1=0在區(qū)間(-1，-

1

2

)內(nèi)有實根，
由a²+a+k+1=0得k+1=-a²-a…（10分），
∵函數(shù)y=-a²-a在(-1，-

1

2

)上為增函數(shù)，
∴當(dāng)a∈(-1，-

1

2

)時，y=-a2-a∈(0，

1

4

)…（12分）
∴k+1∈(0，

1

4

)即k∈(-1，-

3

4

)
故存在實數(shù)k∈(-1，-

3

4

)使函數(shù)g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數(shù)…（14分）

點評：本題考查函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．