Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AA₁=4，D為棱CC₁上的一動點，M、N分別為△ABD，△A₁B₁D的重心．
（1）求證：MN⊥BC；
（2）若二面角C-AB-D的大小為arctan

2

，求點C₁到平面A₁B₁D的距離；
（3）若點C在△ABD上的射影正好為M，試判斷點C₁在△A₁B₁D的射影是否為N？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）建立坐標(biāo)系分別寫出兩條直線所在的向量，利用向量的數(shù)量積等于0可得兩個向量垂直，進(jìn)而得到兩條直線相互垂直．
（2）求出兩個平面的法向量，利用向量之間的基本運算求出二面角的平面角的余弦值，進(jìn)而得到一個關(guān)于a的等式求出a的數(shù)值，再求出平面的一條斜線所在的向量在法向量上的射影即可得到點到平面的距離．
（3）因為點C在△ABD上的射影正好為M，所以

CM

⊥

AD

?

CM

•

AD

=0進(jìn)而求出a的數(shù)值，再根據(jù)對稱性得到C₁在平面A₁B₁D的射影正好為N．

解答：解：（1）以C₁為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)C₁D=a（0≤a≤4），依題意有：D（0，0，a），A（2，0，4），B（0，2，4），
C（0，0，4），C₁（0，0，0）
因為M、N分別為△ABD，△A₁B₁D的重心．
所以M(

2

3

，

2

3

，

8+a

3

)，N(

2

3

，

2

3

，

a

3

)?

NM

=(0，0，

8

3

)
∵

NM

•

CB

=(0，0，

8

3

)•(0，1，0)=0
∴MN⊥BC
（2）因為平面ABC的法向量

n1

=(0，0，-1)，設(shè)平面ABD的法向量

n2

=(x1，y1，z1)
則有

AD • n2 =0 AB • n2 =0

?

(-2，0，a-4)•(x1，y1，z1)=0 (-2，2，0)•(x1，y1，z1)=0

?

n2

=(x1，x2，

2

4-a

x1)
令x1=1?

n2

=(1，1，

2

4-a

)，
設(shè)二面角C-AB-D為θ，則有tanθ=

2

?cosθ=

3

3

因此 cosθ=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=|

2 a-4

2+( 2 4-a )2

|=|

2

2a2-16a+36

|=

3

3

?a=2
設(shè)平面A₁B₁D的法向量為

n3

=(x，y，z)，
則

A1D • n3 =0 A1B1 • n3 =0

?

(-2，0，2)•(x，y，z)=0 (-2，2，0)•(x，y，z)=0

?

n3

=(x，x，x)令x=1有

n3

=(1，1，1)
設(shè)C₁到平面A₁B₁D的距離為d，則d=

C1D • n3

| n3 |

=

2 3

3

（3）若點C在平面ABD上的射影正好為M，則

CM

⊥

AD

?

CM

•

AD

=0
即(

2

3

，

2

3

，

a-4

3

)•(-2，0，a-4)=0?

(a-4)2

3

=

4

3

?a=2，a=6（舍）
因為D為CC₁的中點，所以根據(jù)對稱性可知C₁在平面A₁B₁D的射影正好為N．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系以便利用空間向量解決線面的垂直關(guān)系、平行關(guān)系、空間角、空間建立等問題．