Question

6．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）在雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線向左平移一個(gè)單位所得直線和x-y+3=0圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界），則z=$\frac{x+2y-4}{x-2}$的范圍為（　　）

• A． [$\frac{9}{11}$，$\frac{5}{3}$]
• B． [-5，$\frac{5}{3}$]
• C． [-5，$\frac{9}{11}$]
• D． [-3，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，可得平移后的方程，分別作出直線y=±2（x+1），直線y=x+3，可得三角形的區(qū)域，化簡(jiǎn)z=1+2$•\frac{y-1}{x-2}$，$\frac{y-1}{x-2}$表示點(diǎn)（x，y）與P（2，1）的斜率，求出交點(diǎn)A，B，C，以及直線PA，PB，PC的斜率，由圖象即可得到所求最值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程為y=±2x，
向左平移2個(gè)單位，可得y=±2（x+1），
作出直線y=±2（x+1），直線y=x+3，可得三角形的區(qū)域，如右圖．
z=$\frac{x+2y-4}{x-2}$=$\frac{（x-2）+2（y-1）}{x-2}$=1+2$•\frac{y-1}{x-2}$，
$\frac{y-1}{x-2}$表示點(diǎn)（x，y）與P（2，1）的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$解得A（1，4），由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$可得B（-$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$可得C（-1，0），
由k_PC=$\frac{1-0}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，k_PB=$\frac{1-\frac{4}{3}}{2+\frac{5}{3}}$=-$\frac{1}{11}$，k_PA=$\frac{1-4}{2-1}$=-3．
可得$\frac{y-1}{x-2}$的最小值為-3，最大值為$\frac{1}{3}$，
可得z的最小值為-5，最大值為$\frac{5}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查給定平面區(qū)域的最值的求法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．