Question

函數(shù)y=

x

x2+x+1

（x＞0）的值域是

(0，

1

3

]

．

Answer 1

分析：注意到自變量x是正數(shù)，所以將分式的分子和分母都除以x，得到其分母變成x+

1

x

+1的形式，接下來可以用基本不等式求分母的最小值，最后采用不等式的倒數(shù)法則進行等價變形，可以求得原函數(shù)的值域．

解答：解：∵x＞0
∴y=

x

x2+x+1

=

1

x+1+ 1 x

又∵x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2
∴

1

y

=x+

1

x

+1≥ 3，當且僅當x=1時等號成立
∴0＜y≤

1

3

，即函數(shù)的值域為(0，

1

3

]
故答案為：(0，

1

3

]

點評：本題考查了分式函數(shù)的值域、基本不等式等知識點，屬于中檔題．采用倒數(shù)的方法解題是解決本題的關鍵，解題的同時還要注意函數(shù)定義域問題．