Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中點(diǎn)．

（1）若P為AB的中點(diǎn)證明：DE∥平面PBA1．

（2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求二面角P﹣A1D﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）通過線線平行去得到線面平行，這也是線面平行證明中十分重要的手段.

（2）利用空間向量求二面角的平面角的正弦值，向量法做題，一定要細(xì)心運(yùn)算.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)且,所以是△的中位線.所以PDBC，且PD＝.

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),且的中點(diǎn)為,所以是△的中位線,

所以EFBC，且EF＝,所以PD與EF平行且相等,

所以四邊形是平行四邊形,所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（2）解：因?yàn)?/span>平面，所以.又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以，即是的中點(diǎn).由可得，是的中點(diǎn).

在中,，，沿翻折至，且平面平面，

利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，，.

設(shè)平面的法向量為，

有，

容易得到平面的法向量，

設(shè)二面角的大小為，有

，所以

.