Question

已知函數(shù)f（x）=x-

a

x

在定義域[1，20]上單調(diào)遞增．
（1）求a的取值范圍；
（2）若方程f（x）=10存在整數(shù)解，求滿足條件a的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得不等式

-a

≤1，解出即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x²-10x+1≥0，解出x的范圍，從而得出大于5+

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，不大于20的整數(shù)有11個(gè)．

解答： 解：（1）∵f′（x）=1+

a

x2

=

x2+a

x2

，
①a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在定義域遞增，
②a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞

-a

或x＜-

-a

，
∴f（x）在（-∞，-

-a

）和（

-a

，+∞）遞增，
又∵f（x）的定義域是[1，20]，
∴

-a

≤1，解得：a≥-1，
綜上：a≥-1；
（2）∵f（x）=x-

a

x

=10，
∴a=x²-10x≥-1．即x²-10x+1≥0，
解得：x＜5-

24

（舍），x＞5+

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，
∴大于5+

24

，不大于20的x的整數(shù)有11個(gè)，
11個(gè)整數(shù)x代入就有11個(gè)相對(duì)應(yīng)的a的值，
故滿足條件的a的個(gè)數(shù)是11個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．