Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，AB=1，BC=2，PA=2，E、F分別是AB、PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：CD⊥EF；
（3）求EF與平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，確定

EF

與

AP

，

AD

）共面，即可證明EF∥平面PAD；
（2）證明

CD

•

EF

=0，即可得到結(jié)論；
（3）利用向量的夾角公式，計算cos＜

EF

，

AP

＞=

2

2

，從而可求EF與平面ABCD所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：如圖，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則：A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
∵E為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，
∴E（

1

2

，0，0），F(xiàn)（

1

2

，1，1）
∴

EF

=（0，1，1），

AP

=（0，0，2），

AD

=（0，2，0）
∴

EF

=

1

2

（

AP

+

AD

）
∴

EF

與

AP

，

AD

）共面
∵E∉平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）證明：∵

CD

=（-1，0，0）
∴

CD

•

EF

=（-1，0，0）•（0，1，1）=0
∴CD⊥EF；
（3）解：∵

EF

=（0，1，1），

AP

=（0，0，2），
∴cos＜

EF

，

AP

＞=

2

2

∴sin＜

EF

，

AP

＞=

2

2

∵

AP

⊥平面AC
∴

AP

是平面AC的法向量
∴EF與平面ABCD所成的角的正弦值為

2

2

．

點評：本題考查線面平行，考查線線垂直，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．