Question

已知函數(shù)．
(1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2) 是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，并且的最大值為1．如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)；(2)存在，.

解析試題分析：(1)首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的底數(shù) ，得到為減函數(shù)，最小值是 ，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得到 恒成立，在 范圍內(nèi)解不等式即可；(2)先看真數(shù)部分是減函數(shù)，由已知“在區(qū)間上為增函數(shù)”可得，為減函數(shù)，此時(shí)得到；根據(jù)“的最大值為1”，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，可知，解出，再判斷它是不是在的范圍內(nèi)，在這個(gè)范圍內(nèi)，那么得到的的值滿足題目要求，不在這個(gè)范圍內(nèi)就說明滿足題目要求的是不存在的.
試題解析：(1)∵，設(shè)，
則為減函數(shù)，時(shí)，t最小值為，    2分
當(dāng)，恒有意義，即時(shí)，恒成立．即；4分
又，∴                          6分
(2)令，則； ∵，∴ 函數(shù)為減函數(shù)，
又∵在區(qū)間上為增函數(shù)，∴為減函數(shù)，∴，8分
所以時(shí)，最小值為，此時(shí)最大值為；9分
又的最大值為1，所以，                   10分
∴，即， 所以，故這樣的實(shí)數(shù)a存在．      12分
考點(diǎn)：1.對數(shù)函數(shù)的定義及定義域；2.對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用；3.對數(shù)函數(shù)的值域與最值；4.簡單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；5.解不等式