精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8，AD=4
3
，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）證明PA⊥BD．
分析：（Ⅰ）取AD的中點E，連接PE，則PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連接OE．求出高PO和底面ABCD的面積，可求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求出
PA
，
BD
，計算
PA
•
BD
=0，就證明了PA⊥BD．
法二：連接AO，延長AO交BD于點F，通過相似和計算，證明直線BD垂直直線PA在平面ABCD內(nèi)的身影AF，即可證明PA⊥BD．
解答：精英家教網(wǎng)解：（Ⅰ）如圖1，取AD的中點E，連接PE，則PE⊥AD．
作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連接OE．
根據(jù)三垂線定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO為側(cè)面PAD與底面所成的二面角的平面角，
由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3
3
，四棱錐P-ABCD的體積
VP-ABCD=
1
3
×8×4
3
×3
3
=96．

（Ⅱ）法一：如圖1，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系．通過計算可得
P（0，0，3
3
），A（2
3
，-3，0），B（2
3
，5，0），D（-2
3
，-3，0）
所以
PA
=(2
3
，-3，-3
3
)，
BD
=(-4
3
，-8，0)．
因為
PA
•
BD
=-24+24+0=0，所以PA⊥BD．
法二：如圖2，連接AO，延長AO交BD于點F．通過計算可得EO=3，AE=2
3
，又知AD=4
3
，AB=8，得
EO
AE
=
AD
AB
．精英家教網(wǎng)
所以Rt△AEO∽Rt△BAD．
得∠EAO=∠ABD．
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD．
因為直線AF為直線PA在平面ABCD內(nèi)的身影，所以PA⊥BD．
點評：本題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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