Question

已知A是由實數(shù)組成的數(shù)集，滿足：a∈A則

1

1-a

∈A；且1∉A．
（1）若2∈A，則A中至少含有哪些元素；
（2）A能否為單元素集合？若能，求出集合A；若不能，說明理由；
（3）若a∈A，則1-

1

a

是A中的元素嗎？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)知，a與

1

1-a

都在集合A中，故由2∈A，在利用

1

1-a

進行求解，直到求出三個元素為止，用列舉法表示出來；
（2）由a與

1

1-a

都在集合A中，再由集合A只含有一個元素得，故假設(shè)a∈A時，有a=

1

1-a

進行求解，若有解則存在，若無解則不存在．
（3）由1∉A知a≠0，∴得出a∈A，

1

1-a

∈A，進一步得到得 

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

∈A，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）2∈A得

1

1-2

=-1∈A，
得

1

1-(-1)

=

1

2

∈A，
得

1

1- 1 2

=2∈A，
所以，A={2，-1，

1

2

}….4分
（2）設(shè)A={a}，則a=

1

1-a

，即a²-a+1=0，該方程無實數(shù)解…8分
（3）由1∉A知a≠0，∴a∈A，

1

1-a

∈A
得 

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

∈A，
所以1-

1

a

是A中元素 …..11分．

點評：本題考查了元素與集合的關(guān)系，主要根據(jù)集合元素的特征進行求解，對于存在型的問題，需要先假設(shè)存在有條件列出方程進行求解說明，考查了邏輯思維能力．