如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．

(1)    (2)

解析解　(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1，1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因為cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.
(2)設平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，因為＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個法向量．取平面AA1B的一個法向量為n2＝(0,1,0)，設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.
由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.
因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，
且∥，是中點，平面，
， 是中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當a=2時,求證:AO⊥平面BCD.
(2)當二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A­BD­C為60°，如圖(2)．

(1)求證：AE⊥平面BDC；
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，，底面，，為的中點，為的中點，于，如圖建立空間直角坐標系.

（1）求出平面的一個法向量并證明平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，F(xiàn)A⊥CD.

(1)證明：在平面BCE上，一定存在過點C的直線l與直線DF平行；
(2)求二面角F­CD­A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．
 
(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

平行四邊形中，且以為折線，把折起，使平面平面，連接

（1）求證：；
（2）求二面角 的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題12分）如圖：四棱錐P—ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.
（1）證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF;
（2）當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°. 

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