如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.

(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.

(1) x2=4y   (2)見解析

解析(1)解:依題意,|OB|=8,∠BOy=30°.
設(shè)B(x,y),則x="|OB|sin" 30°=4,
y="|OB|cos" 30°=12.
因為點B(4,12)在x2=2py上,
所以(4)2=2p×12,解得p=2.
故拋物線E的方程為x2=4y.
(2)證明:由(1)知y=x2,y′=x.
設(shè)P(x0,y0),則x0≠0,y0=,且l的方程為
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.
由得
所以Q為.
設(shè)M(0,y1),令·=0對滿足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立.
由于=(x0,y0-y1),  =,
由·=0,
得-y0-y0y1+y1+=0,
即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)
由于(*)式對滿足y0=(x0≠0)的y0恒成立,
所以
解得y1=1.
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在坐標原點O，右焦點為F.若C的右準線l的方程為x＝4，離心率e＝.

(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設(shè)點P為準線l上一動點，且在x軸上方．圓M經(jīng)過O、F、P三點，求當(dāng)圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓過點P(1, )，其左、右焦點分別為F1,F2,離心率e＝,M,N是直線x＝4上的兩個動點，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求|MN|的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結(jié)論。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓（＞＞0）的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（ ，0），點（0，）在線段的垂直平分線上，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)動點P(x,y)(x≥0)到定點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大.記點P的軌跡為曲線C.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦,當(dāng)M運動時弦長BD是否為定值?說明理由;
(3)過F作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明＋為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的離心率,原點到過點,的直線的距離是.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上一動點關(guān)于直線的對稱點為,求 的取值范圍；
（3）如果直線交橢圓于不同的兩點,,且,都在以為圓心的圓上,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄如下：、、、．
（1）經(jīng)判斷點，在拋物線上，試求出的標準方程；
（2）求拋物線的焦點的坐標并求出橢圓的離心率；
（3）過的焦點直線與橢圓交不同兩點且滿足，試求出直線的方程．

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同步練習(xí)冊答案