Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x-y-2=0，拋物線C：y²=2px（p＞0）．
（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；
（2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q．
①求證：線段PQ的中點坐標為（2-p，-p）；
②求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點坐標，然后求解拋物線方程．
（2）：①設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通過拋物線方程，求解k_PQ，通過P，Q關于直線l對稱，點的k_PQ=-1，推出$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=-p$，PQ的中點在直線l上，推出$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2-p，即可證明線段PQ的中點坐標為（2-p，-p）；
②利用線段PQ中點坐標（2-p，-p）．推出$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-2p}\\{{y}_{1}{y}_{2}=4{p}^{2}-4p}\end{array}\right.$，得到關于y²+2py+4p²-4p=0，有兩個不相等的實數(shù)根，列出不等式即可求出p的范圍．

解答 解：（1）∵l：x-y-2=0，∴l(xiāng)與x軸的交點坐標（2，0），
即拋物線的焦點坐標（2，0）．
∴$\frac{p}{2}=2$，
∴拋物線C：y²=8x．
（2）證明：①設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則：$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=2p{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=2p{x}_{2}}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}={x}_{1}}\\{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}={x}_{2}}\end{array}\right.$，k_PQ=$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又∵P，Q關于直線l對稱，∴k_PQ=-1，即y₁+y₂=-2p，∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=-p$，
又PQ的中點在直線l上，∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}+2$=2-p，
∴線段PQ的中點坐標為（2-p，-p）；
②因為Q中點坐標（2-p，-p）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-2p}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{2p}=4-2p}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-2p}\\{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=8p-4{p}^{2}}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-2p}\\{{y}_{1}{y}_{2}=4{p}^{2}-4p}\end{array}\right.$，即關于y²+2py+4p²-4p=0，有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△＞0，（2p）²-4（4p²-4p）＞0，
∴p∈$（0，\frac{4}{3}）$．

點評 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．