Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 分別化直線與橢圓的參數(shù)方程為普通方程，然后聯(lián)立方程組，求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式求得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t①}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t②}\end{array}\right.$，由②得$t=\frac{2}{\sqrt{3}}y$，
代入①并整理得，$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{\frac{y}{2}=sinθ}\end{array}\right.$，
兩式平方相加得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{7}}\\{y=-\frac{8\sqrt{3}}{7}}\end{array}\right.$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{7}）^{2}+（0+\frac{8\sqrt{3}}{7}）^{2}}=\frac{16}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的參數(shù)方程，考查了參數(shù)方程化普通方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．