Question

在數(shù)列中，，，對任意成立，令，且是等比數(shù)列.
（1）求實數(shù)的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）求證：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先利用題中的定義，利用數(shù)列的前三項成等比數(shù)列求出的值，然后就的值進行檢驗，即對數(shù)列是否為等比數(shù)列進行檢驗；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項選擇累加法求數(shù)列的通項公式；（3）利用，將數(shù)列從第三項開始放縮為一個等比數(shù)列，而前面兩項的值保持不變，再利用數(shù)列求和即可證明相應的數(shù)列不等式.
試題解析：（1），，，，
，，，
數(shù)列為等比數(shù)列，，即，解得或（舍），
當時，，即，
，所以滿足條件；
（2），數(shù)列為等比數(shù)列，，
，，，，
，；
（3），，

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