Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，且f（-

1

2

）≤-

3

4

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx+1，x∈[-2，2]，記函數(shù)F（x）的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+ax的最小值不小于-1 求得-2≤a≤2．再由f（-

1

2

）≤-

3

4

可得 a≥2，由此求得a的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．
（2）二次 函數(shù)F（x）=f（x）-kx+1=x²+2x-kx+1 的圖象開口向上，對(duì)稱軸為 x=

k-2

2

，分對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、在區(qū)間上、在區(qū)間的右邊三種情況，分別求出 g（k），從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，∴

0-a2

4

≥-1，即 a²≤4，-2≤a≤2．
再由f（-

1

2

）≤-

3

4

 可得

1

4

-

a

2

≤-

3

4

，a≥2．
綜上可得，a=2，f（x）=x²+2x．
（2）二次 函數(shù)F（x）=f（x）-kx+1=x²+2x-kx+1 的圖象開口向上，對(duì)稱軸為 x=

k-2

2

，又 x∈[-2，2]，．
當(dāng)

k-2

2

＜-2，即 k＜-2，時(shí)，函數(shù)F（x）在[-2，2]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)F（X）取得最小值為 g（k）=2k+1．
當(dāng)-2≤

k-2

2

≤2，即-2≤k≤6時(shí)，當(dāng)x=

k-2

2

時(shí)，函數(shù)F（X）取得最小值為 g（k）=-

1

4

k²+k．
當(dāng)

k-2

2

＞2，即  k＞6時(shí)，函數(shù)F（x）在[-2，2]上是減函數(shù)，故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)F（X）取得最小值為 g（k）=9-2k．
綜上可得，g(k)=

2k+1，k＜-2 - 1 4 k2+k，-2≤k≤6 9-2k，k＞6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．