Question

19．將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（x）圖象．
（1）寫出y=f（x）的解析式；
（2）求f（x）≤-$\frac{1}{2}$的解集；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）把y=sin2x的圖象左移$\frac{π}{6}$個單位，得y=sin2（x+$\frac{π}{6}$）的圖象，再把圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象，即為y=f（x）；
（2）由f（x）≤-$\frac{1}{2}$得sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-$\frac{1}{2}$，解得x的取值范圍即可；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求出sin（x+$\frac{π}{3}$）的取值范圍即可．

解答 解：（1）把函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得y=sin2（x+$\frac{π}{6}$），即y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象，
把y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
∴y=f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）；
（2）∵f（x）≤-$\frac{1}{2}$，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-$\frac{1}{2}$，
解得$\frac{7π}{6}$+2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$+2kπ，k∈Z；
即$\frac{5π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z；
∴不等式的解集為[$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴y=f（x）的值域是[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了解三角函數(shù)的不等式問題，是基礎(chǔ)題目．