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【題目】已知離心率為的橢圓，與直線交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為.

(1)求橢圓方程;

(2)若，則三角形的面積是否為定值?若是，求出這個定值;若不是，請說明理由.

【答案】（1）；

（2）是定值且為，詳見解析.

【解析】

（1）根據題設可得關于的方程組，解出后可得橢圓的標準方程.

（2）當直線的斜率存在時，設其方程為,聯立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理化簡可得可得，再利用韋達定理把面積表示成關于的代數式，利用前者化簡可得面積為定值.注意斜率不存在時的討論.

(1)由題意可知，解得，

所以橢圓方程為.

(2)設，

當直線的斜率存在時，設其方程為,

聯立橢圓方程得，

則，

點到直線的距離，

所以，

由，

化簡得，

整理得到，入上式得.

若直線斜率不存在易算得.

綜上得，三角形的面積是定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設，，分別為內角，，的對邊.已知，，且，則( )

A. 1B. 2C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動點P到兩定點M（﹣3，0），N（3，0）的距離滿足|PM|＝2|PN|.

（1）求證：點P的軌跡為圓；

（2）記（1）中軌跡為⊙C，過定點（0，1）的直線l與⊙C交于A，B兩點，求△ABC面積的最大值，并求此時直線l的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）

如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4,點D是AB的

中點.

(1) 求證： AC⊥BC1

(2) 求證：AC1∥平面CDB1

(3) 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形， 面， 為的中點。

（1）證明： 平面;

（2）設， ，三棱錐的體積 ，求A到平面PBC的距離。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（ω＞0）的最小正周期為π．

（Ⅰ）求ω的值和f（x）的單調遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若關于x的方程f（x）﹣m＝0在區(qū)間[0，]上有兩個實數解，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在2018、2019每高考數學全國Ⅰ卷中，第22題考查坐標系和參數方程，第23題考查不等式選講.2018年髙考結束后，某校經統(tǒng)計發(fā)現:選擇第22題的考生較多并且得分率也較高.為研究2019年選做題得分情況，該校高三質量檢測的命題完全采用2019年高考選做題模式，在測試結束后，該校數學教師對全校高三學生的選做題得分進行抽樣統(tǒng)計，得到兩題得分的統(tǒng)計表如下(已知每名學生只選做—道題):

第22題的得分統(tǒng)計表

得分

0

3

5

8

10

理科人數

50

50

75

125

200

文科人數

25

25

125

0

25

第23題的得分統(tǒng)計表

得分

0

3

5

8

10

理科人數

30

52

58

60

200

文科人數

5

10

10

5

70

(1)完成如下2×2列聯表，并判斷能否有99%的把握認為“選做題的選擇”與“文、理科的科類”有關；

選做22題

選做23題

總計

理科人數

文科人數

總計

(2)若以全體高三學生選題的平均得分作為決策依據，如果你是考生，根據上面統(tǒng)計數據，你會選做哪道題，并說明理由.

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點、間的距離為，動點滿足，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于數列，如果存在正整數，使得對一切，都成立，則稱數列為等差數列．

（1）若數列為2-等差數列，且前四項分別為2，-1，4，-3，求的值；

（2）若既是2-等差數列，又是3-等差數列，證明：是等差數列．

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