Question

14．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷b，d的值，在對函數(shù)進行求導(dǎo)，令f'（1）=0可求出c的值，進而確定函數(shù)解析式．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值，然后對|f（x₁）-f（x₂）|進行放縮即可得證．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴b=d=0，f（x）=x³+cx，
∴f'（x）=3x²+c，
∵在x=±1處取得極值，
∴f'（1）=0∴c=-3，
∴f（x）=x³-3x；
∴f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）證明：∵f'（x）=3x²-3
∴令f'（x）=3x²-3=0，x=±1且-1＜x＜1時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
∵f（x）_max=f（-1）=2，f（x）_min=f（1）=-2
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（-1）-f（1）=2+2=4．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．屬中檔題．