Question

2．對(duì)于集合M={a|a=x²-y²，x∈Z，y∈Z}，給出如下三個(gè)結(jié)論：其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�
①如果P={b|b=2n+1，n∈Z}，那么P⊆M；
②如果c=4n+2，n∈Z，那么c∉M；
③如果a₁∈M，a₂∈M，那么a₁a₂∈M．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 ①根據(jù)2n+1=（n+1）²-n²，得出2n+1∈M，即P⊆M；
②根據(jù)c=4n+2，證明4n+2∉M，即c∉M；
③根據(jù)a₁∈M，a₂∈M，證明a₁a₂∈M．

解答 解：集合M={a|a=x²-y²，x∈Z，y∈Z}，
對(duì)于①，b=2n+1，n∈Z，
則恒有2n+1=（n+1）²-n²，
∴2n+1∈M，即P={b|b=2n+1，n∈Z}，則P⊆M，①正確；
對(duì)于②，c=4n+2，n∈Z，
若4n+2∈M，則存在x，y∈Z使得x²-y²=4n+2，
∴4n+2=（x+y）（x-y），
又x+y和x-y同奇或同偶，
若x+y和x-y都是奇數(shù)，則（x+y）（x-y）為奇數(shù)，而4n+2是偶數(shù)；
若x+y和x-y都是偶數(shù)，則（x+y）（x-y）能被4整除，而4n+2不能被4整除，
∴4n+2∉M，即c∉M，②正確；
對(duì)于③，a₁∈M，a₂∈M，
可設(shè)a₁=x₁²-y₁²，a₂=x₂²-y₂²，x_i、y_i∈Z；
則a₁a₂=（x₁²-y₁²）（x₂²-y₂²）
=（x₁x₂）²+（y₁y₂）²-（x₁y₂）²-（x₂y₁）²
=（x₁x₂+y₁y₂）²-（x₁y₂+x₂y₁）²∈M
那么a₁a₂∈M，③正確．
綜上，正確的命題是①②③．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷、以及運(yùn)算求解能力和化歸思想，是難題．