Question

幾何體P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中點，點E在BC上，且BE=2CE．
（1）求直線DE與PC夾角θ的余弦值；
（2）求直線DE與平面ABC所成角α的余弦值．

Answer 1

解：（1）以A為坐標原點建立空間直角坐標系，

則由已知得：D（0，0，2），E（1，2，0），
所以=（1，2，-2），=（0，3，-4），=（3，0，0），=（-2，2，0）．
所以直線DE與PC夾角θ的余弦值為：cos=
（2）連接AE，則∵PA⊥面ABC，∴∠DEA為直線DE與平面ABC所成角
∵=（1，2，0），
∴直線DE與平面ABC所成角α的余弦值為．
分析：（1）建立空間直角坐標系，分別求出兩條直線所在的向量，利用向量之間的運算計算出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的夾角；
（2）連接AE，根據(jù)PA⊥面ABC，可得∠DEA為直線DE與平面ABC所成角，從而可求直線DE與平面ABC所成角α的余弦值．
點評：本題考查線線角、考查線面角，建立空間直角坐標系，利用空間向量的知識解決空間角是解題的關(guān)鍵．