Question

（2013•韶關(guān)三模）某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ） 估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅲ） 從成績是70分以上（包括70分）的學生中選兩人，求這兩名學生的成績均不低于80分的概率．

Answer 1

分析：（I）利用頻率分布直方圖中的各組的頻率和等于1，求出第四小組的頻率，求出縱坐標，補全這個頻率分布直方圖即可．
（II）求出60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組的頻率和；利用組中值估算抽樣學生的平均值為各組的中點乘以各組的頻率和為平均值．
（Ⅲ）先算出分數(shù)在“[70，80），[80，90），[90，100]”的人數(shù)是18，15，3，利用組合知識得到從成績是70分以上（包括70分）的學生中選兩人有C₃₆²，再利用分類計數(shù)原理求出這兩名學生的成績均不低于80分的種數(shù)，最后利用概率公式計算即可．

解答：解：（Ⅰ）因為各組的頻率和等于1，
故第四組的頻率：f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3…（2分），
頻率分布直方圖第四小組的縱坐標是：

0.3

10

=0.03，
直方圖如右所示      …（4分）
（Ⅱ）依題意，60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組，
頻率和為 （0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽樣學生成績的合格率是75%       …（6分）
利用組中值估算抽樣學生的平均分45•f₁+55•f₂+65•f₃+75•f₄+85•f₅+95•f₆…（8分）
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估計這次考試的平均分是71（分）          …（9分）
（Ⅲ）在“[70，80），[80，90），[90，100]”上的人數(shù)分別是18，15，3．
所以從成績是70分以上（包括70分）的學生中選兩人，
這兩名學生的成績均不低于80（分）的概率P=

C 2 15 + C 2 3 + C 1 15 • C 1 3

C 2 36

=

17

70

…（12分）

點評：本題考查頻率分布直方圖、等可能事件的概率等．在頻率分布直方圖中，數(shù)據(jù)的平均值等于各組的中點乘以各組的頻率之和；頻率等于縱坐標乘以組距；屬于基礎題．