Question

已知圓C的中心在原點O，點P（2，2）、A、B都在圓C上，且

OA

+

OB

=m

OP

 （m∈R）．
（Ⅰ）求圓C的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）當△OAB的面積取得最大值時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)圓C的中心在原點O，點P（2，2）在圓C上，可求圓C的方程；利用A、B都在圓C上，

OA

+

OB

=m

OP

，可得A，B關于直線OP對稱，利用直線OP的斜率，可求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=-x+b，求出圓心到直線AB的距離，|AB|，表示出面積，再利用基本不等式，即可求得OAB的面積取得最大值，進而可得直線AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）設圓C的方程為x²+y²=r²，
∵點P（2，2）在圓C上，∴r²=8
∴圓C的方程為x²+y²=8
∵A、B都在圓C上，

OA

+

OB

=m

OP

∴A，B關于直線OP對稱
∵直線OP的斜率為1
∴直線AB的斜率為-1；
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=-x+b，則圓心到直線AB的距離為d=

|b|

2

∴|AB|=2

8- b2 2

∴△OAB的面積為

1

2

×2

8- b2 2

×

|b|

2

=

(8- b2 2 )× b2 2

≤

8- b2 2 + b2 2

2

=4
當且僅當8-

b2

2

=

b2

2

，即b=±2

2

時，△OAB的面積取得最大值4
此時直線AB的方程為y=-x±2

2

．

點評：本題考查圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查三角形的面積，同時考查基本不等式的運用，求出圓的方程，表示出三角形的面積，利用基本不等式求解時關鍵．