Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．又設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明：直線AE與x軸相交于定點Q；
（3）求

OB

•

OE

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，可求b的值，再利用橢圓的離心率為

1

2

，即可求出橢圓C的方程；
（2）設A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），將直線PB：y=

y0

4-x0

(x-4)代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，可得[3+

4y02

(4-x0)2

]x²-

32y02

(4-x0)2

x+

64y02

(4-x0)2

-12=0，從而可得E的坐標，從而可得直線AE的方程，進而可知直線AE與x軸相交于定點Q；
（3）由（2）知x₁+x₀=

8-2x02

5-2x0

，x₁x₀=

8x0-5x02

5-2x0

，y₁y₀=

-3y02

5-2x0

=

-9+ 9 4 x02

5-2x0

，

OB

•

OE

=x₁x₀-y₁y₀，從而可得

OB

•

OE

=

-11x02+32x0-36

4(5-2x0)

，設5-2x₀=t，進而可確定

OB

•

OE

的取值范圍．

解答：（1）解：∵以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，
∴b=

6

2

=

3

，
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，
∴

c

a

= 

1

2

∴

a2-b2

a2

=

1

4

，∴a2=

4

3

b2=4，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）證明：設A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀）
將直線PB：y=

y0

4-x0

(x-4)代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，可得[3+

4y02

(4-x0)2

]x²-

32y02

(4-x0)2

x+

64y02

(4-x0)2

-12=0
設E（x₁，y₁），則x₁+x₀=

32y02

3(4-x0)2+4y02

=

96-24x02

3(4-x0)2+12-3x02

=

8-2x02

5-2x0

∴x1=

8-5x0

5-2x0

，∴y₁=

-3y0

5-2x0

∴直線AE：y- y0= 

y0- -3y0 5-2x0

x0-  8-5x0 5-2x0

(x-x0)
化簡可得y=

y0

x0-1

(x-1)
∴直線AE與x軸相交于定點Q：（1，0）
（3）解：由（2）知x₁+x₀=

8-2x02

5-2x0

，x₁x₀=

8x0-5x02

5-2x0

，y₁y₀=

-3y02

5-2x0

=

-9+ 9 4 x02

5-2x0

∵

OB

•

OE

=x₁x₀-y₁y₀，
∴

OB

•

OE

=

8x0-5x02

5-2x0

-

-9+ 9 4 x02

5-2x0

=

-29x02+32x0+36

4(5-2x0)

設5-2x₀=t，∵x₀∈（-2，2），∴t∈（1，9）
∴

OB

•

OE

=-

29

16

(t+

9

t

)+

113

8

∵t∈（1，9），∴t+

9

t

∈[6，10)
∴

OB

•

OE

∈（-4，

13

4

]

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線恒過定點，考查向量知識的運用，同時考查學生分析解決問題的能力與計算能力．