Question

11．若向量$\overrightarrow a=（{1，0，z}）$與向量$\overrightarrow b=（{2，1，2}）$的夾角的余弦值為$\frac{2}{3}$，則z=0，$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=$\sqrt{29}$．

Answer 1

分析 由$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{2}{3}$，能求出z，由此能求出|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$|．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（{1，0，z}）$與向量$\overrightarrow b=（{2，1，2}）$的夾角的余弦值為$\frac{2}{3}$，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{2+2z}{\sqrt{1+{z}^{2}}•\sqrt{9}}$=$\frac{2+2z}{3\sqrt{1+{z}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
解得z=0，
∴$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$=（1，0，0）-（4，2，4）=（-3，-2，-4），
|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$|=$\sqrt{9+4+16}$=$\sqrt{29}$．
故答案為：0，$\sqrt{29}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量的模的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量夾角余弦值的坐標(biāo)運(yùn)算公式的合理運(yùn)用．