Question

（2010•崇明縣二模）已知函數(shù)f(x)=a-

1

|x|

．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，由f(x1)-f(x2)=a-

1

|x1|

-a+

1

|x2|

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0，能夠證明函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a＜

1

x

+2x．記g(x)=

1

x

+2x，在（1，+∞）上是增函數(shù)，得g（x）＞g（1）=3，由此能求出a的范圍．
（3）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m兩種情況分別討論實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，
f(x1)-f(x2)=a-

1

|x1|

-a+

1

|x2|

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0
所以：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，
得a-

1

x

＜2x即a＜

1

x

+2x
記g(x)=

1

x

+2x，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
得g（x）＞g（1）=3，
所以：a≤3
（3）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
�。┊�(dāng)n＞m＞0時(shí)，f（x）在[m，n]上是增函數(shù)

f(m)=m f(n)=n

，解得：a＞2
ⅱ） 當(dāng)0＞n＞m時(shí)，f（x）在[m，n]上是減函數(shù)

f(m)=n f(n)=m

，解得：a=0
所以：a∈{0}∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．