Question

【題目】已知函數，且函數在和處都取得極值．

（1）求實數與的值；

（2）對任意，方程存在三個實數根，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）根據導數和極值的關系可知， ，得到的值，然后回代函數驗證；（2）轉化為和有3個交點，根據（1）的結果計算極大值和極小值，以及端點值，比較后得到函數的圖象，如果有3個不同交點時， ，得到的值.

試題解析：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b

由題意可知

解得

經檢驗，適合條件，所以

（2）原題等價于函數與y=f（x）與函數y=2c兩個圖象存在三個交點，…

由（1）知f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），…，

令（3x+2）（x﹣1）=0，可得x=﹣，x=1；

x∈[﹣1，2]，當x∈（﹣1，﹣），x∈（1，2）時，f'（x）＞0，函數是增函數，

x∈（﹣，1）時，函數是減函數，

函數的極大值為：f（﹣）=c+，f（2）=2+c＞c+

極小值為：f（1）=﹣+c，f（﹣1）=＞ …

∴x∈[﹣1，2]時，

可得，∴…