Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2

ωx

2

+cos(ωx+

π

3

)，（其中ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f(A)=-

1

2

，c=3，△ABC的面積為6

3

，求△ABC的外接圓面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過函數(shù)的周期，求出ω，然后求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）利用第一問的結(jié)果，求出銳角三角形的角A，通過正弦定理求出三角形的外接圓的半徑，然后求解外接圓的面積．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=1+cosωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx
=1+

3

2

cosωx-

3

2

sinωx
=1-

3

sin（ωx-

π

3

），
于是有

2π

ω

=π，ω=2．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）以及已知可得f(A)=1-

3

sin(2A-

π

3

)=-

1

2

，
即sin（2A-

π

3

）=

3

2

，又三角形是銳角三角形，所以A=

π

3

，
△ABC的外接圓的半徑為

a

2sinA

=

7

3

=

7 3

3

，
△ABC的外接圓的面積為

49π

3

．

點(diǎn)評：本題考查兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，正弦定理，三角函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的求法，外接圓的面積的求法，考查計(jì)算能力．