Question

（2013•浙江模擬）已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+7+a

x+1

，a∈R．若對(duì)于任意的x∈N^*，f （x）≥4恒成立，則a的取值范圍是

[

1

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中函數(shù)f （x）=

x2+ax+7+a

x+1

，a∈R．若對(duì)于任意的x∈N^*，f （x）≥4恒成立，我們可將其轉(zhuǎn)化為a≥-[(x+1)+

8

x+1

]+6恒成立，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為a≥g（x）_max=-[(x+1)+

8

x+1

]+6，解不等式可得a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f （x）=

x2+ax+7+a

x+1

，且f （x）≥4，對(duì)于任意的x∈N^*恒成立
即a≥-

x2-4x+3

x+1

=-

(x+1)2-6(x+1)+8

x+1

=-[(x+1)+

8

x+1

]+6
令g（x）=-[(x+1)+

8

x+1

]+6，則g（x）≤6-4

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=2

2

-1時(shí)g（x）取最大值
又∵x∈N^*，
∴當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取最大值

1

3

故a≥

1

3

即a的取值范圍是[

1

3

，+∞）
故答案為：[

1

3

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，其中將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，是轉(zhuǎn)化思想在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)的亮點(diǎn)，應(yīng)引起大家的注意．