Question

10．（1）已知x＞0，y＞0，$\frac{1}{x}+\frac{2}{y+1}$=2，求2x+y的最小值．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，比較8-$\frac{1}{a}$與$\frac{1}+\frac{1}{ab}$的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{2x}$+$\frac{1}{y+1}$=1（a，y＞0），運用乘1法和基本不等式可得2x+y+1的最小值，進而得到2x+y的最小值；
（2）結(jié)論：8-$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}+\frac{1}{ab}$．運用基本不等式可得ab的范圍，再由作差法，得到$\frac{1}{a}$+$\frac{1}+\frac{1}{ab}$≥8，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由x，y＞0，可得
$2x+y+1=（2x+y+1）（\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+1}）=2+\frac{y+1}{2x}+\frac{2x}{y+1}≥4$（x=y=1等號成立），
可得2x+y≥3，即2x+y的最小值為3；
（2）8-$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}+\frac{1}{ab}$．
理由：由a＞0，b＞0，a+b=1≥2$\sqrt{ab}$，
即有ab≤$\frac{1}{4}$，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}+\frac{1}{ab}$=$\frac{a+b+1}{ab}$=$\frac{2}{ab}$≥8
則8-$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}+\frac{1}{ab}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值和比較大小，注意乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．