Question

在四棱錐P-ABCD，PA=PB=AD=AB=4BC=4，E為PB的中點(diǎn)，AD∥BC，且AD⊥面PAB
（1）求證：BD⊥CE
（2）求二面角E-AC-B的余弦值大�。�

Answer 1

分析：（1）在四棱錐P-ABCD中，取DP的中點(diǎn)F，則EF是三角形PBD的中位線，故有BD∥EF ①．再利用勾股定理證明EF⊥CE ②，可得BD⊥CE．
（2）由題意可得平面ABCD⊥平面PAB，過點(diǎn)E作EG⊥AB，G為垂足；再過點(diǎn)G作GH⊥AC，H為垂足，可證∠EHG為二面角E-AC-B的平面角．利用等面積法求得 EG和EH的值．再求得sin∠EHG=

EG

EH

的值，可得cos∠EHG 的值，即為所求．

解答：解：（1）在四棱錐P-ABCD中，由于E為PB的中點(diǎn)，
再取DP的中點(diǎn)F，AP的中點(diǎn)為K，
則FK是三角形PAD的中位線，F(xiàn)K平行且等于

1

2

AD；
EF是三角形PBD的中位線，故有BD∥EF ①．
再根據(jù)PA=PB=AD=AB=4BC=4，AD∥BC，且AD⊥面PAB，
可得EF=

1

2

BD=2

2

，CE=

BE2+BC2

=

5

，
FC=

BK2+(FK-BC)2

=

(2 3 )2+1

=

13

．
顯然有 CE²+EF²=FC²，∴EF⊥CE ②．
由①、②可得BD⊥CE．
（2）由題意可得平面ABCD⊥平面PAB，過點(diǎn)E作EG⊥AB，G為垂足，則EG⊥平面ABCD．
再過點(diǎn)G作GH⊥AC，H為垂足，則有三垂線定理可得，EH⊥AC，∴∠EHG為二面角E-AC-B的平面角．
由

1

2

•AE•BE=

1

2

AB•EG，可得

1

2

×2

3

×2=

1

2

×4×EG，解得  EG=

3

．
由于AD⊥面PAB，AD∥BC，∴BC⊥面PAB，∴CPB⊥面PAB．
再根據(jù)等邊三角形種AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EC．
再根據(jù)

1

2

•AE•EC=

1

2

•AC•EH，可得

1

2

×2

3

×

5

=

1

2

×

17

×EH，解得 EH=2

15 17

．
直角三角形EGH中，sin∠EHG=

EG

EH

=

3

2 15 17

，
∴cos∠EHG=

9 60

=

15

10

，即二面角E-AC-B的余弦值為

15

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面垂直的判定與性質(zhì)，用等面積法求三角形某邊上的高線長，求二面角的平面角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．