Question

12．設(shè)a，b＞0，a+2b=3ab．
（1）求2a+b的最小值；
（2）若a²+λb²≥3（b-a）（2a+b）對任意a，b＞0恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a+2b=3ab變形為$\frac{1}{3b}+\frac{2}{3a}=1$，使2a+b=（2a+b）（$\frac{1}{3b}+\frac{2}{3a}$），展開，利用基本不等式求最小值；
（2）對不等式變形，分離變量，使$λ≥-7\frac{{a}^{2}}{^{2}}+\frac{3a}+3$=-7（$\frac{a}-\frac{3}{14}$）²+$\frac{75}{28}$恒成立．

解答 解：（1）由已知a，b＞0，a+2b=3ab．
得到$\frac{1}{3b}+\frac{2}{3a}=1$，所以2a+b=（2a+b）（$\frac{1}{3b}+\frac{2}{3a}$）=$\frac{2a}{3b}+\frac{2b}{3a}+\frac{5}{3}$≥$\frac{4}{3}+\frac{5}{3}$=3，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2a}{3b}=\frac{2b}{3a}$即a=b時(shí)等號成立；
所以2a+b的最小值為3；
（2）因?yàn)閍²+λb²≥3（b-a）（2a+b）對任意a，b＞0恒成立，即$λ≥-7\frac{{a}^{2}}{^{2}}+\frac{3a}+3$=-7（$\frac{a}-\frac{3}{14}$）²+$\frac{75}{28}$恒成立，所以$λ≥\frac{75}{28}$，所以λ的最小值為$\frac{75}{28}$；
所以λ的取值范圍（$\frac{75}{28}，+∞$）

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式求最值以及分離變量解決恒成立問題；屬于中檔題．