Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)相交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），若橢圓的離心率e∈[

1

2

，

2

2

]，則a的最大值為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁，）、B（x₂，y₂），將直線y=-x+1與橢圓方程聯(lián)解，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理與直線方程求出用a、b表示x₁x₂+y₁y₂的式子，由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，從而建立關(guān)于a²、b²的等式，將a²化成關(guān)于橢圓的離心率e的代數(shù)式，根據(jù)題中離心率的范圍算出a²的范圍，即可算出實數(shù)a的最大值．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁，）、B（x₂，y₂），
由

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

消去y，可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∴則x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2(1-b2)

a2+b2

，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點），可得

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=0，化簡得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴2•

a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，∴代入上式，化簡得2a²=1+

1

1-e2

，
∴a²=

1

2

（1+

1

1-e2

）．
∵e∈[

1

2

，

2

2

]，平方得

1

4

≤e²≤

1

2

，∴

1

2

≤1-e²≤

3

4

，可得

4

3

≤

1

1-e2

≤2，
因此2a²=1+

1

1-e2

≤3，可得a²的最大值為

3

2

，滿足條件a²+b²＞1，
∴當(dāng)橢圓的離心率e=

2

2

時，a的最大值為

3 2

=

6

2

．
故答案為：

6

2

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求長半軸a的最大值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．