Question

10．如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成最
大角的正切值為$\sqrt{3}$，求二面角B-AF-C的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥AE，AE⊥AD，由此能證明AE⊥面PAD；
（2）∠AHE是EH與面PAD所成角，$tan∠AHE=\frac{AE}{AH}，AH⊥PO$時，AH最小，tan∠AHE最大，∠AHE最大，取AB中點(diǎn)M，作MN⊥AF于N，連CN，由三垂線定理得∠MNC是二面角B-AF-C的平面角，由此能求出二面角B-AF-C的正切值．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，
又∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，E為BC中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴AE⊥面PAD；
解：（2）∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH與面PAD所成角，
$tan∠AHE=\frac{AE}{AH}，AH⊥PO$時，AH最小，tan∠AHE最大，∠AHE最大，
令A(yù)B=2，則$AE=\sqrt{3}，AH=1$，在Rt△AHD中，AD=2，∠ADH=30°，
在Rt△PAD中，$PA=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，∵PA⊥面ABCD，
∴面PAB⊥面ABCD，且交線為AB，取AB中點(diǎn)M，
正△ABC中，CM⊥AB，∴CM⊥面PAB，
作MN⊥AF于N，連CN，由三垂線定理得CN⊥AF，
∠MNC是二面角B-AF-C的平面角.$CM=\sqrt{3}$．
在△PAB中，$BF=AF=\frac{2}{3}\sqrt{3}，AB=2$，邊AF上的高$BG=1，MN=\frac{1}{2}$，
∴二面角B-AF-C的正切值$tan∠MNC=\frac{CM}{MN}=2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．